Príklady indukcie. Metóda matematickej indukcie: príklady riešení

Skutočné vedomosti boli vždy založenéstanovenie správnosti a dôkaz o jeho pravdivosti za určitých okolností. Pre takéto dlhé obdobie existencie logického zdôvodnenia boli pravidlá formulované a Aristotel dokonca zostavil zoznam "správneho uvažovania". Z historického hľadiska je bežné rozdeliť všetky závery na dva typy - od konkrétneho k množstva (indukcie) a naopak (odpočítanie). Treba poznamenať, že druhy dôkazov od súkromného k všeobecnému a od všeobecného až po konkrétne existujú len vo vzťahu a nemožno ich používať zameniteľne.

Indukcia v matematike

Termín "indukcia" má latinukorene a je doslovne preložený ako "vedenie". V bližšie štúdie môžu byť izolované štruktúru textu, a to latinský prefix - in- (označuje smerom dovnútra akcie alebo prítomnosť vnútri) a -duction - správa. Treba poznamenať, že existujú dva typy - úplné a neúplné indukcie. Kompletný formulár je charakterizovaný závermi zo štúdia všetkých predmetov určitej triedy.

Neúplné - závery sa vzťahovali na všetky predmety triedy, ale boli založené na štúdiu len niekoľkých jednotiek.

Kompletná matematická indukcia - dedukcia,založený na všeobecnom závere o celej triede akýchkoľvek objektov, funkčne spojených vzťahmi prirodzeného počtu čísel na základe poznania tohto funkčného spojenia. Dôkazový proces prebieha v troch etapách:

• prvý dokazuje správnosť polohy matematickej indukcie. Príklad: f = 1, to je základ indukcie;
• Ďalšia fáza vychádza z predpokladu platnosti pozície pre všetky prirodzené čísla. To znamená, že f = h, ide o indukčnú hypotézu;
• tretia etapa dokazuje spravodlivosťpozícia pre číslo f = h + 1 na základe správnosti predchádzajúcej klauzuly je indukčný krok alebo krok matematickej indukcie. Príkladom je takzvaný "princíp domino": ak prvá kosť padne v rade (základ), potom kosti v riadku (prechod) klesnú.

A pre zábavu a vážne

Pre jednoduchosť vnímania sú príklady riešenia matematicky indukčnou metódou vystavené v podobe problémov s vtipom. Toto je úloha "zdvorilého obratu":

• Pravidlá správania zakazujú mužovi obsadiťotočiť sa pred ženou (v tejto situácii je povolené pokračovať). Vychádzajúc z tohto vyhlásenia, ak posledný v rade je muž, potom všetci ostatní sú muži.

Výrazným príkladom metódy matematickej indukcie je problém "bezrozmerného letu":

• Musí sa preukázať, že mikrobus je umiestnenýľubovoľný počet ľudí. Je pravda, že jedna osoba môže byť bez problémov umiestnená vo vnútri dopravy (základňa). Ale bez ohľadu na to, ako je zaneprázdnený minibus, vždy sa do neho zapojí jeden cestujúci (indukčný krok).

Známe kruhy

Príklady riešenia matematickej indukcie problémov a rovníc sa často stretávajú. Na ilustráciu tohto prístupu môžeme zvážiť nasledujúci problém.

podmienka: v rovine sú h kruhy. Je potrebné preukázať, že pre akékoľvek usporiadanie čísel môže byť karta, ktorú tvoria, správne zafarbená v dvoch farbách.

Riešenie: pre h = 1 pravdivosť tvrdenia je zrejmé, preto dôkaz bude založený na počte kruhov h + 1.

Predpokladáme, že vyhlásenie je spoľahlivéna akúkoľvek mapu a na rovine, ktorá má h + 1 kruhy. Vybratie z celkového počtu jedného z kruhov, môžete získať správne maľované v dvoch farebných prevedeniach (čierna a biela) karty.

Pri obnove odstráneného kruhu safarba každej oblasti je opakom (v tomto prípade vnútri kruhu). Získala sa mapa, správne zafarbená s dvoma farbami, ktorá sa mala dokázať.

Príklady s prirodzenými číslami

Nižšie je jasne uvedené použitie metódy matematickej indukcie.

Príklady riešení:

Dokážte, že pre akýkoľvek h platí nasledujúca rovnosť:

1²+2²+3²+ ... + h²= h (h + 1) (2 h + l) / 6.

riešenie:

1. Nech h = 1, potom:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Z toho vyplýva, že pre h = 1 je tvrdenie správne.

2. Za predpokladu, že h = d, získame rovnicu:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Za predpokladu, že h = d + 1, získame:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²(D + 1) (d + 2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Preto je dokázaná platnosť rovnosti pre h = d + 1, preto tvrdenie platí pre akékoľvek prirodzené číslo, ktoré je uvedené v príklade riešenia matematicky indukciou.

úloha

podmienka: je potrebné preukázať, že pre akúkoľvek hodnotu h je výraz 7^hod-1 je deliteľný 6 bez zvyšku.

Riešenie:

1. Predpokladajme, že h = 1, v tomto prípade:

R₁= 7¹-1 = 6 (to znamená, že je deliteľné 6 bez zvyšku)

Preto pre h = 1 je vyhlásenie platné;

2. Predpokladajme, že h = d a γ^d-1 je deliteľný 6 bez zvyškov;

3. Dôkazom platnosti tvrdenia pre h = d + 1 je vzorec:

R_d1= 7^d1-1 = 7,7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

V tomto prípade sa prvý termín delí podľa 6 podľa predpokladu prvého bodu a druhý termín sa rovná 6. Tvrdenie, že 7^hod-1 je deliteľný 6 bez zvyšku pre akýkoľvek prirodzený h - je to pravda.

Chyba rozsudkov

Často sa používajú nesprávne použité dôkazyzdôvodnenia, kvôli nepresnosti použitých logických konštrukcií. V zásade sa to stane, keď sa porušia štruktúra a logika dôkazu. Príkladom nesprávneho zdôvodnenia môže byť ilustrácia.

úloha

podmienka: potrebujete dôkaz, že žiadna hromada kameňov nie je banda.

Riešenie:

1. Predpokladajme, že h = 1, v tomto prípade v kameni 1 kameň a výrok je pravdivý (základ);

2. Predpokladajme, že pre h = d je pravda, že hromada kameňov nie je hromada (predpoklad);

3. Nech h = d + 1, čo znamená, že keď pridáme ešte jeden kameň, množina nebude hromadou. Záverom je, že predpoklad platí pre všetky prirodzené h.

Chyba spočíva v tom, že neexistuje definícia toho, koľko kameňov tvorí halda. Takéto vynechanie sa nazýva nepokojná generalizácia v metóde matematickej indukcie. Príklad, ktorý jasne ukazuje.

Indukcia a zákony logiky

Historicky príklady indukcie a odpočtu vždy "kráčajú ruka v ruke". Takéto vedecké disciplíny ako logika, filozofia ich opisujú vo forme protikladov.

Z pohľadu logického práva v induktívnomdefinície sa týkajú spoliehania sa na skutočnosti a pravdivosť pozemkov neurčuje správnosť výsledného vyhlásenia. Často sa vyvodzujú závery s určitou pravdepodobnosťou a hodnovernosťou, čo by samozrejme malo byť skontrolované a potvrdené ďalším výskumom. Príklad indukcie v logike môže byť vyhlásenie:

V Estónsku - sucho v Lotyšsku - sucho, v Litve - sucho.

Estónsko, Lotyšsko a Litva sú pobaltské štáty. Vo všetkých pobaltských štátoch je sucho.

Z príkladu môžeme konštatovať, že nové informáciealebo pravda nemôže byť získaná indukciou. Všetko, na čom sa dá počítať, je určitá pravdivosť záverov. Navyše pravdivosť priestorov nezaručuje rovnaké závery. Táto skutočnosť však neznamená, že indukcia vegetuje na okraji dedukcie: obrovský počet ustanovení a vedeckých zákonov je odôvodnený metódou indukcie. Príkladom je tá istá matematika, biológia a iné vedy. To je spôsobené najmä metódou úplnej indukcie, avšak v niektorých prípadoch je aj čiastočná.

Úctyhodný vek indukcia ju nechal preniknúť prakticky do všetkých oblastí ľudskej činnosti - je veda a ekonomika a každodenné úvaha.

Indukcia vo vedeckom prostredí

Spôsob indukcie si vyžaduje dôkladný postoj,pretože príliš veľa závisí od počtu študovaných detailov celku: čím väčší je počet študovaných, tým je výsledok spoľahlivejší. Na tejto konkrétnej vedeckej zákony získaných indukciou, po dlhú dobu kontrolované na úrovni predpokladov pravdepodobnosti pre izoláciu a štúdium všetkých možných konštrukčných prvkov, spojov a vplyvov na báze.

Vo vede je založená indukciaVýznamné znaky, s výnimkou náhodných pozícií. Táto skutočnosť je dôležitá v súvislosti so špecifikami vedeckých poznatkov. To je jasne vidieť v príkladoch indukcie vo vede.

Existujú dva druhy indukcie vo vedeckom svete (v súvislosti so študijným postupom):

1. indukčná selekcia (alebo selekcia);
2. indukcia je výnimkou (eliminácia).

Prvý typ sa líši metodickým (dôkladným) výberom vzoriek triedy (podtried) z rôznych oblastí.

Príklad indukcie tohto druhu je nasledujúci: striebro (alebo soli striebra) čisti voda. Záver je založený na dlhodobých pozorovaniach (druh výberu potvrdení a zamietnutí - výber).

Druhý druh indukcie je založený na záveroch,stanovenie príčinných vzťahov a vylúčenie okolností, ktoré nezodpovedajú jeho vlastnostiam, menovite univerzálnosti, dodržiavaniu časovej postupnosti, nevyhnutnosti a jednoznačnosti.

Indukcia a dedukcia z pohľadu filozofie

Ak sa pozriete na historickú retrospektívu, potomtermín "indukcia" prvýkrát spomenul Socrates. Aristotle opísal príklady indukcie vo filozofii v približnejšom terminologickom slovníku, ale otázka neúplnej indukcie zostáva otvorená. Po prenasledovaní aristotelského syllogizmu sa induktívna metóda stala uznanou ako plodná a jediná možná v prírodných vedách. Otec indukcie ako samostatná osobitná metóda sa považuje za Bacona, ale nedokázal oddeliť, ako to vyžadujú súčasníci, indukciu z deduktivej metódy.

Ďalší vývoj indukcie sa zaoberal J. Mill, ktorý považoval teóriu indukcie za štvoricu hlavných metód: súhlas, rozdiel, pozostatky a zodpovedajúce zmeny. Nie je prekvapujúce, že k dnešnému dňu sú tieto metódy, keď sa uvažujú podrobne, dedukčné.

Znalosť nekonzistencie teórií Bacon a Millviedli vedci k štúdiu pravdepodobnostného základu indukcie. Aj tu to však nebolo bez extrémov: pokusy o zníženie indukcie na teóriu pravdepodobnosti so všetkými následnými následkami.

Hlasovanie o indukcii dôvery sa dosahuje praktickýmpoužitie v určitých oblastiach a vďaka presnosti metrických vlastností indukčnej základne. Príkladom indukcie a dedukcie vo filozofii možno považovať zákon univerzálnej gravitácie. V čase objavenia zákona sa mu Newton podarilo overiť s presnosťou 4 percentá. A keď sa skontroloval po viac ako dvesto rokov, správnosť bola potvrdená v rámci 0,0001 percent, hoci test bol vykonaný rovnakými indukčnými zovšeobecňovaniami.

Moderná filozofia venuje viac pozornostidedukcia, ktorá je diktovaná logickou túžbou odvodiť od už známych nových poznatkov (alebo pravdy), ktoré sa netýkajú skúseností, intuície a používania "čistého" rozumu. Keď sa odvolávame na skutočné predpoklady v deduktívnej metóde, vo všetkých prípadoch je výstup skutočným výrokom.

Táto veľmi dôležitá vlastnosť by nemala byťna zatmenie hodnoty indukčnej metódy. Keďže indukcia, založená na výsledkoch skúseností, sa stáva prostriedkom na jej spracovanie (vrátane generalizácie a systematizácie).

Indukcia v ekonomike

Indukcia a dedukcia sa dlho používajú ako metódy výskumu ekonomiky a prognózovania jej vývoja.

Spektrum používania metódy indukcie je dostatočnéširoký: štúdium implementácie prognostických ukazovateľov (zisky, odpisy atď.) a všeobecné hodnotenie stavu podniku; tvorba efektívnej politiky podpory podnikania na základe faktov a ich vzájomných vzťahov.

Rovnaký spôsob sa používa na indukciu "Shewhartových schémy", kde za predpokladu separačných procesov na riadených a neriadených uvádza, že do rozsahu riadeného neaktívneho procesu.

Treba poznamenať, že vedecké zákonyzdôvodnené a podporované metódou indukcie a keďže ekonomika je vedou, často s využitím matematickej analýzy, teórie rizík a štatistických údajov, nie je prekvapujúce, že prítomnosť indukcie v zozname základných metód.

Príklad indukcie a dedukcie v ekonomike môžeslúži nasledovnej situácii. Zvýšenie cien potravín (zo spotrebného koša) a základného tovaru tlačí spotrebiteľa, aby premýšľal o vznikajúcich životných nákladoch v štáte (indukcia). Zároveň je možné pomocou matematických metód odvodiť indexy rastu cien pre určité tovary alebo kategórie tovarov (odpočet) z dôvodu vysokých cien.

Najčastejšie sa to týka spôsobu indukcieriadiaci pracovníci, manažéri, ekonómovia. Aby bolo možné s dostatočnou pravdivosťou predpovedať vývoj podniku, trhové správanie, účinky súťaže, indukčne deduktívny prístup k analýze a spracovávaniu informácií, je nevyhnutné.

Dobrý príklad indukcie v ekonómii s odkazom na nesprávne posúdenia:

• zisk spoločnosti klesol o 30%;
  konkurenčná spoločnosť rozšírila svoj produktový rad;
  nič sa nezmenilo;
• výrobná politika konkurujúcej spoločnosti bola dôvodom zníženia zisku o 30%;
• preto je potrebná rovnaká výrobná politika.

Príkladom je farebná ilustrácia toho, ako nesprávne použitie metódy indukcie prispieva k zrúteniu podniku.

Dedukcia a indukcia v psychológii

Keďže existuje metóda, logicky,riadne organizované myslenie prebieha (použiť metódu). Psychológia ako veda, ktorá skúma mentálne procesy, ich formovanie, vývoj, vzájomné prepojenia, interakcie, venuje pozornosť "deduktivnemu" mysleniu ako jednej z foriem dedukovania a indukcie. Bohužiaľ, na stránkach psychológie na internete neexistuje prakticky žiadne ospravedlnenie integrity deduktivno-indukčnej metódy. Hoci profesionálni psychológovia sú častejšie konfrontovaní s prejavmi indukcie, alebo skôr s chybnými závermi.

Príklad indukcie v psychológii, ako ilustrácienesprávne posúdenia, môže slúžiť toto vyhlásenie: moja matka klame, preto sú všetky ženy podvodníkmi. Ešte viac možno nájsť "chybné" príklady indukcie zo života:

• študent nie je schopný nič, ak má matematiku dvojicu;
• on je blázon;
• on je šikovný;
• Môžem urobiť čokoľvek;

- a mnoho iných hodnotiacich úsudkov odvodených od absolútne náhodných a niekedy aj zanedbateľných správ.

Treba poznamenať, že keď sa klauzula osobných rozsudkov dostane do bodu absurdity, objaví sa predná časť práce pre psychoterapeuta. Jeden príklad indukcie na špecializovanom stretnutí:

"Pacient je absolútne istý, že farba je červenánesie pre neho len nebezpečenstvo v akýchkoľvek prejavoch. V dôsledku toho osoba vylúčila danú farebnú schému z jej života - pokiaľ je to možné. Doma máte veľa príležitostí na pohodlné bývanie. Môžete zrušiť všetky červené objekty alebo ich nahradiť analógmi vyrobenými v inej farebnej schéme. Ale na verejných miestach, v práci, v obchode - je nemožné. Keď sa dostaneme do situácie stresu, pacient vždy zakaždým prežije "príliv" úplne iných emočných stavov, čo môže byť pre iných nebezpečné. "

Tento príklad indukcie a nevedome,tzv. "pevné nápady". Ak sa to stane s duševne zdravou osobou, môžete hovoriť o nedostatočnej organizácii duševnej činnosti. Prvokový vývoj dedukčného myslenia sa môže stať spôsobom, ako sa zbaviť posadnutých štátov. V iných prípadoch pracujú s takýmito pacientmi psychiatri.

Príklady indukcie naznačujú, že "ignorácia zákona sa nevylučuje z dôsledkov (nesprávne rozsudky)."

Psychológovia, ktorí pracujú na téme deduktívneho myslenia, vytvorili zoznam odporúčaní, ktoré pomôžu ľuďom zvládnuť túto metódu.

Prvým bodom je riešenie problémov. Ako vidíte, forma indukcie, ktorá sa používa v matematike, môže byť považovaná za "klasickú" a použitie tejto metódy prispieva k "disciplíne" mysle.

Ďalšia podmienka pre rozvoj deduktivneho mysleniaje rozšírenie horizontov (jasne si myslí, jasne uvádza). Toto odporúčanie smeruje "postihnutých" do prírodovedného a informačného útulku (knižnice, webové stránky, vzdelávacie iniciatívy, cestovanie atď.).

Presnosť je ďalším odporúčaním. Koniec koncov, z príkladov použitia indukčných metód je jasne vidieť, že ona je v mnohých ohľadoch zárukou pravdivosti vyhlásení.

Neprekonali flexibilitu mysle, čo znamenalo možnosť využiť rôzne spôsoby a prístupy pri riešení problému, ako aj zohľadnenie variability udalostí.

A samozrejme pozorovanie, ktoré je hlavným zdrojom akumulácie empirických skúseností.

Mali by sme tiež spomenúť tzv"Psychologická indukcia." Tento pojem, aj keď zriedka, sa dá nájsť na internete. Všetky zdroje nedávajú aspoň stručnú formuláciu definície tohto pojmu, ale odkazujú na "príklady života", pričom uvádzajú návrh, niektoré formy duševných ochorení alebo extrémne stavy ľudskej psychiky ako indukcie. Zo všetkého vyššie uvedeného je jasné, že pokus o odvodenie "nového termínu", ktorý sa spolieha na falošné (často nezodpovedajúce skutočnosti) predpoklady, núti experimentátora, aby prijal chybné (alebo nepokryté) tvrdenia.

Treba poznamenať, že odkaz na experimenty1960 (bez uvedenia miesta konania, mená experimentátorov, vzorky predmetov a hlavne účelu experimentu) vyzerá, mírne povedané, nepresvedčivé a tvrdenie, že mozog vníma informácie, obchádza všetky orgány vnímania (v tomto prípade je by sa zmestili ekologickejšie), spôsobuje, že si myslíte na dôverčivosť a nekritickosť autora vyhlásenia.

Namiesto uzatvárania

Kráľovná vied - matematika, nie pre nič, čo používa všetkomožné rezervy metódy indukcie a odpočtu. Uvažované príklady umožňujú dospieť k záveru, že povrchné a nešikovné (bezvýznamné, ako hovoria) používanie aj tých najpresnejších a najspoľahlivejších metód vždy vedie k chybným výsledkom.

V masovom vedomí je metóda odpočítania spojená so slávnym Sherlockom Holmesom, ktorý vo svojich logických konštrukciách často používa príklady indukcie, pomocou dedukcie v správnych situáciách.

Článok skúmal príklady aplikácie týchto metód v rôznych vedách a oblastiach ľudskej činnosti.