Matematická matica. Násobenie matríc

Napriek tomu sa používali matematici starovekej Čínyich výpočty zaznamenávajú vo forme tabuliek s určitým počtom riadkov a stĺpcov. Potom boli podobné matematické objekty nazývané "magické štvorce". Hoci sú známe prípady použitia tabuliek vo forme trojuholníkov, ktoré neboli široko používané.

K dnešnému dňu, pod matematickou maticouje zvykom porozumieť objemu obdĺžnikového tvaru s daným počtom stĺpcov a symbolov, ktoré určujú rozmery matrice. V matematike táto forma písania našla široké uplatnenie pri nahrávaní v kompaktnej forme systémov diferenciálnych aj lineárnych algebraických rovníc. Predpokladá sa, že počet riadkov v matici sa rovná počtu rovníc prítomných v systéme, počet stĺpcov zodpovedá počtu neznámych, ktoré je potrebné určiť pri riešení systému.

Okrem toho, že samotná matica v priebehu jejriešenie vedie k nájdeniu neznámych vložených do stavu systému rovníc, existuje množstvo algebraických operácií, ktoré je možné vykonať na tomto matematickom objekte. Tento zoznam zahŕňa pridanie matíc s rovnakými rozmermi. Násobenie matíc s vhodnými rozmermi (môžete vynásobiť iba maticu, na jednej strane má počet stĺpcov rovnajúci sa počtu riadkov matice na druhej strane). Je tiež možné vynásobiť maticu vektorom alebo prvkom poľa alebo základným krúžkom (inak je to skalárne).

Vzhľadom na násobenie matíc to vyplývapozorne sledujte, či počet stĺpcov prvej prísne zodpovedá počtu riadkov druhej. V opačnom prípade táto akcia nad matricami nebude určená. Podľa pravidla, podľa ktorých sa matrice-maticové násobenie, každý prvok v novej poľa sa rovná súčtu produktov zodpovedajúcich prvkov radov prvých maticové prvky z ďalších stĺpcoch.

Pre zrozumiteľnosť zvážte príklad toho, ako sa vyskytuje násobenie matice. Prijímame maticu A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

vynásobte ho maticou B

3 -2

1 0

4 -3.

Prvok prvého riadku prvého stĺpcaVýsledná matica je 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. Preto v prvom riadku v druhom stĺpci bude prvok rovný 2 * (-2) + 3 * 0 + (-2) * (-3) a tak ďalej, kým sa neplní každý prvok novej matice. Pravidlo pre násobenie matíc predpokladá, že výsledok produktu matice s parametrami m x n na matici majúcej vzťah n x k je tabuľka s rozmermi m x k. Podľa tohto pravidla môžeme konštatovať, že produkt takzvaných štvorcových matíc rovnakého poradia je vždy definovaný.

Z vlastností, ktoré má multiplikácia matice,Treba poznamenať, že jednou z hlavných vecí je, že táto operácia nie je komutačná. To je súčin matica M na N nie je rovná súčinu N M. V prípade štvorcových matíc rovnakého rádu je pozorované, že ich vpred a vzad produkt sa vždy určuje, líšia sa len v dôsledku toho, obdĺžnikové matice, ako určité podmienky nie sú vždy splnené.

Násobenie matíc má niekoľko vlastností,ktoré majú jasné matematické dôkazy. Asociativita násobenia predpokladá správnosť nasledujúceho matematického výrazu: (MN) K = M (NK), kde M, N a K sú matrice s parametrami, pre ktoré je definované násobenie. Distributivita násobenia predpokladá, že M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = LM N + M.

Dôsledkom maticovej multiplikačnej vlastnosti, nazývanej "asociativita", naznačuje, že práca obsahujúca tri alebo viac faktorov môže písať bez použitia zátvoriek.

Použitie vlastnosti distributivity umožňuje otvárať zátvorky pri skúmaní výrazov matice. Venujeme pozornosť, ak otvoríme zátvorky, potom musíme zachovať poradie faktorov.

Použitie maticových výrazov umožňuje nielen kompaktné zaznamenávanie ťažkopádnych systémov rovníc, ale tiež uľahčuje proces ich spracovania a riešenia.